Question

【题目】已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集为M．
（1）设Z是整数集，求Z∩M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：|x+1|+|x﹣1|= 当

x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（﹣2，2），故Z∩M={﹣1，0，1}}

（2）证明：当a，b∈M即﹣2＜a，b＜2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）利用绝对值的几何意义，解出M，利用Z是整数集，求Z∩M；（2）当a，b∈M时，利用作差法证明：2|a+b|＜|4+ab|．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．