Question

【题目】如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由平面，得到，再由四边形为正方形得到，从而证明平面，从而得到，再结合，即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明、、三条直线两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）平面，

，又，，

平面，

，又，

平面，即平面；

（2）设，则中，，又，

，，由（1）知，

，，

，又，

，，同理，

如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的法向量，则，又，

所以，令，得，，

由（1）知平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，可知为锐角，

，即所求.