Question

【题目】已知圆C的圆心为原点，且与直线 相切.

（1）求圆C的方程；

（2）点在直线上，过点引圆C的两条切线， ，切点为， ，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】解：（1）依题意得：圆的半径，所以圆的方程为。（4分）

（2）是圆的两条切线， 。在以为直径的圆上。

设点的坐标为，则线段的中点坐标为。

以为直径的圆方程为（8分）

化简得： 为两圆的公共弦，

直线的方程为

所以直线恒过定点。（12分）

【解析】试题分析：（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；

（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（2，0），得证．

解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，

∴d=，

所以圆C的方程为x2+y2=16①；

（2）连接OA，OB，

∵PA，PB是圆C的两条切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴A，B在以OP为直径的圆上，

设点P的坐标为（8，b），b∈R，

则线段OP的中点坐标为，

∴以OP为直径的圆方程为，

化简得：x2+y2﹣8x﹣by=0②，b∈R，

∵AB为两圆的公共弦，

∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，即8（x﹣2）+by=0，

则直线AB恒过定点（2，0）．