Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆（x+c）²+（y+2）²=1相切，且与椭圆E交于A、B两点．
（1）当AB=

16

5

时，求椭圆E的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为锐角，当c变化时，求证：AB的中点在一定直线上．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，可设椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=c2，设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d=

2

1+k2

=1，求得斜率，再将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用弦长即可求得椭圆E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中点（-

4c

5

，

3 c

5

），从而可得结论．

解答：（1）解：由椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，可设椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=c2
根据已知设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d=

2

1+k2

=1
∴k=±

3

∴切线AB为：y=±

3

（x+c），与椭圆方程联立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

16c

5

=

16

5

∴c=1，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（9分）
（2）证明：由（1）及已知得，AB的中点（-

4c

5

，

3 c

5

），
故弦AB的中点在定直线

3

x+4y=0（x＜0）上．（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程是关键．