(2013•崇明县一模)如图.椭圆E:x2a2+y2b2=1的左焦点为F1.右焦点为F2.过F1的直线交椭圆于A.B两点.△ABF2的周长为8.且△AF1F2面积最大时.△AF1F2为正三角形．(1)求椭圆E的方程,(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P.且与直线x=4相交于点Q．试探究:①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系?②在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•崇明县一模）如图，椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，△ABF₂的周长为8，且△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

分析：（1）利用椭圆的定义、等边三角形的性质即可得出；
（2）①判断圆心到x轴的距离与半径的大小关系即可得出；
②假设平面内存在定点M满足条件，则由对称性知点M在x轴上，再利用直径所对的圆周角是直角即可求出．

解答：解：（1）∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，∴a=2．
又当△AF₁F₂面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b²=3，
∴椭圆E的方程为

=1
（2）①由

y=kx+m

，得方程（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，⇒4k²-m²+3=0．
求得P(-

，

)，Q（4，4k+m），PQ中点到x轴距离 d2=(2k+

)2(

|PQ|)2-d2=(

-1)2＞0(4k2-m2+3=0⇒m≠2k)．
所以圆与x轴相交．
②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x₁，0），

=(-

-x1，

)，

=(4-x1，4k+m)．
由

•

=0，得(4x1-4)

+x12-4x1+3=0．
∴4x1-4=

-4x1+3=0，即x₁=1．
所以定点为M（1，0）．

点评：熟练掌握椭圆的定义、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系的判断、圆的对称性、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

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