Question

已知f(x)=sin(x+

π

2

)，g（x）=sinx，下列选项正确的是（　　）

• A．函数y=f（x）g（x）的一个单调区间是[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]
• B．函数y=f（x）+g（x）的最大值是2
• C．函数y=f（x）+g（x）的一个对称中心是（-

  π

  4

  ，0）
• D．函数f（x）的一条对称轴是x=

  π

  4

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简 y=f（x）g（x）和y=f（x）+g（x）的解析式，利用三角函数的对称性、最值、单调性等得到答案．

解答：解：①∵f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx，其对称轴为 x+

π

2

=kπ，k∈z，故排除D．
②∵由于函数f（x）g（x）=sin(x+

π

2

)sinx=sinxcosx=

1

2

sin2x，由 2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得其增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]；
 由 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，可得其减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z，故排除A．
③由于函数f（x）+g（x）=sin(x+

π

2

)+sinx=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其最大值为

2

，故排除B．
再由x+

π

4

=kπ，可得 x=kπ-

3π

4

，故其对称中心为（kπ-

3π

4

，0），故C正确．
故选C．

点评：本小题考查诱导公式、三角函数的对称性、最值、单调性等，属于基础题．