Question

13．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，则该半球的体积为$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．

解答 解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
则AB=$\sqrt{2}r$，
四棱锥的体积为：$\frac{1}{3}（\sqrt{2}r）^{2}×r$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
半球的体积为：$\frac{2π}{3}{r}^{2}$=$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．

点评 本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．