Question

8．向边长分别为$\sqrt{13}$、5、6的三角形区域内随机投一点D，则该点D与三角形三个顶点距离都大于$\sqrt{3}$的概率为（　　）

• A． 0
• B． $1-\frac{π}{3}$
• C． $1-\frac{π}{6}$
• D． $1-\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式求出三角形的面积，以及点M与三角形三个顶点距离都大于$\sqrt{3}$对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：设a=5，b=6，c=$\sqrt{13}$，
则由余弦定理得cosC=$\frac{{5}^{2}+{6}^{2}-13}{2×5×6}$=$\frac{4}{5}$，
则sinC=$\frac{3}{5}$，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=9，
则M与三角形三个顶点距离都大于$\sqrt{3}$的面积为9-$\frac{1}{2}×π×3$=9-$\frac{3π}{2}$，
则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为$\frac{9-\frac{3}{2}π}{9}$=1-$\frac{π}{6}$，
故选：C．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用余弦定理求出相应的面积是解决本题的关键．