Question

3．定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1（0≤x＜1）}\\{\frac{1}{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，g（x）=log₂x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． [-2，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，2]
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图，
若若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，
则b一定在函数g（x）使两个函数的函数值重合的区间内，
∵函数f（x）的最大值为1，最小值为-1，
∴由log₂x=1，解得x=2，
由log₂（-x）=1，解得x=-2，
故b的取值范围是[-2，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，2]，
故选：C

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性结合数形结合是解决本题的关键．