Question

13．已知函数$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+2{cos^2}x-1（x∈{R}）$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=$\frac{1}{2}$，且△ABC外接圆的半径为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈$Z）即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜2π+\frac{π}{6}$，即可求得A的值，由正弦定理即可求得a的值．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+2{cos^2}x-1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+cos2x$…（2分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$…（3分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈$Z）得，$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈$Z） （5分）
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈$Z）             …（7分）
（Ⅱ）∵$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，0＜A＜π，$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜2π+\frac{π}{6}$，
于是$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
∴$A=\frac{π}{3}$…（10分）
∵△ABC外接圆的半径为$\sqrt{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=2R$，得$a=2RsinA=2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3$，…（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，正弦函数的单调性的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．