Question

1．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}f（u）+f（v-1）≤0\\ f（u-v-1）≥0\end{array}\right.$，则u²+v²的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称．
∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．
即函数f（x）是奇函数，
则不等式组$\left\{\begin{array}{l}f（u）+f（v-1）≤0\\ f（u-v-1）≥0\end{array}\right.$，等价为$\left\{\begin{array}{l}{f（u）≤-f（v-1）=f（1-v）}\\{u-v-1≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{u≥1-v}\\{u-v-1≤0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则u²+v²的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，
则由图象知原点到直线u=1-v，即v+u-1=0的距离最小，
此时d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故u²+v²的最小值为d²=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．