Question

10．已知8个非零实数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，向量$\overrightarrow{O{A_1}}=（{a_1}，\;{a_2}）$，$\overrightarrow{O{A_2}}=（{a_3}，\;{a_4}）$，$\overrightarrow{O{A_3}}=（{a_5}，\;{a_6}）$，$\overrightarrow{O{A_4}}=（{a_7}，\;{a_8}）$，给出下列命题：
①若a₁，a₂，…，a₈为等差数列，则存在i，j（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N^*），使$\overrightarrow{O{A_1}}$+$\overrightarrow{O{A_2}}$+$\overrightarrow{O{A_3}}$+$\overrightarrow{O{A_4}}$与向量$\overrightarrow{n}$=（a_i，a_j）共线；
②若a₁，a₂，…，a₈为公差不为0的等差数列，向量$\overrightarrow{n}$=（a_i，a_j）（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N^*），$\overrightarrow{q}$=（1，1），M={y|y=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$}，则集合M的元素有12个；
③若a₁，a₂，…，a₈为等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），都有$\overrightarrow{O{A_i}}$∥$\overrightarrow{O{A_j}}$；
④若a₁，a₂，…，a₈为等比数列，则存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使$\overrightarrow{O{A_i}}$•$\overrightarrow{O{A_j}}$＜0；
⑤若$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{O{A_i}}$•$\overrightarrow{O{A_j}}$（1≤i，j≤4，i≠j，i，j∈N^*），则$\overrightarrow{m}$的值中至少有一个不小于0．
其中所有真命题的序号是①③⑤．

Answer 1

分析 利用定义，结合数量积运算，即可得出结论．

解答 解：a₁，a₂，…，a₈为等差数列，设公差为d，则a₁，a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
a₄=a₁+3d，a₅=a₁+4d，a₆=a₁+5d，a₇=a₁+6d，a₈=a₁+7d，
①根据题意，$\overrightarrow{O{A_1}}$+$\overrightarrow{O{A_2}}$+$\overrightarrow{O{A_3}}$+$\overrightarrow{O{A_4}}$
=（a₁+a₁+2d+a₁+4d+a₁+6d，a₁+d+a₁+3d+a₁+5d+a₁+7d）
=（4a₁+12d，4a₁+16d）与向量$\overrightarrow{n}$=（a₄，a₅）共线，故正确；
②根据题意，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=（a_i，a_j）•（1，1）=a_i+a_j，故共有：a₁+a₂，a₁+a₃，
a₁+a₄，a₁+a₅，a₁+a₆，a₁+a₇，a₁+a₈，a₂+a₃，a₂+a₄，a₂+a₅，a₂+a₆，
a₂+a₇，a₂+a₈，a₃+a₄，a₃+a₅，a₃+a₆，a₃+a₇，a₃+a₈，a₄+a₅，a₄+a₆，
a₄+a₇，a₄+a₈，a₅+a₆，a₅+a₇，a₅+a₈，a₆+a₇，a₆+a₈，a₇+a₈共28种情况，
又a₁+a₄=a₂+a₃，a₁+a₅=a₂+a₄，a₁+a₆=a₂+a₅=a₃+a₄，
a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅，a₁+a₈=a₂+a₇=a₃+a₆=a₄+a₅，
a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆，a₃+a₈=a₄+a₇=a₅+a₆，
a₄+a₈=a₅+a₇，a₅+a₈=a₆+a₇，
所以集合M的元素有13个，故不正确；
a₁，a₂，…，a₈为等比数列，设公比为q，则a₁，a₂=a₁q，a₃=a₁q²，
a₄=a₁q³，a₅=a₁q⁴，a₆=a₁q⁵，a₇=a₁q⁶，a₈=a₁q⁷，
③根据题意，向量$\overrightarrow{O{A_1}}=（{a_1}，\;{a_2}）$=a₁（1，q），
$\overrightarrow{O{A_2}}=（{a_3}，\;{a_4}）$=a₁q²（1，q），
$\overrightarrow{O{A_3}}=（{a_5}，\;{a_6}）$=a₁q⁴（1，q），
$\overrightarrow{O{A_4}}=（{a_7}，\;{a_8}）$=a₁q⁶（1，q），故正确；
④$\overrightarrow{O{A_1}}$•$\overrightarrow{O{A_2}}$=${{a}_{1}}^{2}$q²（1+q²），
$\overrightarrow{O{A_1}}$•$\overrightarrow{O{A_3}}$=${{a}_{1}}^{2}$q⁴（1+q²），
$\overrightarrow{O{A_1}}$•$\overrightarrow{O{A_4}}$=${{a}_{1}}^{2}$q⁶（1+q²），
$\overrightarrow{O{A_2}}$•$\overrightarrow{O{A_3}}$=${{a}_{1}}^{2}$q⁶（1+q²），
$\overrightarrow{O{A_2}}$•$\overrightarrow{O{A_4}}$=${{a}_{1}}^{2}$q⁸（1+q²），
$\overrightarrow{O{A_3}}$•$\overrightarrow{O{A_4}}$=${{a}_{1}}^{2}$q¹⁰（1+q²），
所以不存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），
使$\overrightarrow{O{A_i}}$•$\overrightarrow{O{A_j}}$＜0，故不正确；
⑤一个点与平面中任意四个点构成的向量不可能两两间夹角均大于90度，
则$\overrightarrow{m}$的值中至少有一个不小于0，故正确．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查等差数列、等比数列的性质，考查数量积运算，属于中档题．