Question

2．已知f（x）=cos2x+acosx．
（1）若a=2，x∈R，求f（x）的值域；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）若a=2，x∈R，利用一元二次函数的性质即可求f（x）的值域；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用换元法，结合一元二次函数的性质即可求f（x）的值域．

解答 解：f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1=2（cosx+$\frac{a}{4}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．
（1）若a=2，f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$．
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最小值-$\frac{3}{2}$．
当cosx=1时，函数f（x）有最大值3．
故f（x）的值域为[-$\frac{3}{2}$，3]；
（2）若a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则0≤cosx≤1，
设t=cosx，则0≤t≤1，
则函数f（x）等价为g（t）=2t²+at-1=2（t+$\frac{a}{4}$）²-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．（0≤t≤1），
对称轴为t=-$\frac{a}{4}$，
①若-$\frac{a}{4}$＜0，即a＞0，此时函数g（t）在0≤t≤1上递增，
则g（0）≤g（t）≤g（1），即-1≤g（t）≤1+a，值域为[-1，1+a]，
②若-$\frac{a}{4}$＞1，即a＜-4，此时函数g（t）在0≤t≤1上递减，
则g（1）≤g（t）≤g（0），即1+a≤g（t）≤-1，值域为[1+a，-1]，
③0≤-$\frac{a}{4}$≤$\frac{1}{2}$，即-2≤a≤0时，此时函数的最小值为g（$\frac{a}{4}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，最大值为g（1）=1+a，值域为[1+a，-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$]．
④$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{4}$≤1，即-4≤a≤-2时，此时函数的最小值为g（$\frac{a}{4}$）=-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，最大值为g（0）=-1，值域为[-1-$\frac{{a}^{2}}{8}$，-1]．

点评 本题主要考查函数最值的求解，结合三角函数的性质以及一元二次函数的单调性是解决本题的关键．注意要对对称轴进行分类讨论．