Question

8．数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a₁+a₂+…+a_n+6，（n∈N^*）．
（1）判断{a_n}是不是等比数列，并说明理由；
（2）令b_n=log₂ a_n，若x＜$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜y对一切n∈N^*成立，求x和y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用作差法求出数列的通项公式，结合等比数列的定义即可判断{a_n}是不是等比数列；
（2）令b_n=log₂ a_n，求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法化简$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，即可求x和y的取值范围．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a₁+a₂+…+a_n+6，（n∈N^*）．
∴当n≥2时，a_n=a₁+a₂+…+a_n-1+6，（n∈N^*）．
两式相减得a_n+1-a_n=a_n，
即a_n+1=2a_n，
当n=1时，a₂=a₁+6=2+6=8，不满足a_n+1=2a_n，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{8•{2}^{n-2}={2}^{n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故数列{a_n}不是等比数列；
（2）∵b_n=log₂a_n，
∴b₁=log₂a₁═log₂2=1，
当n≥2时，b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
b₂=3，
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}$+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{2}{3}$，
∵$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$在n≥1时为增函数，
∴$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$≥$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$＜$\frac{2}{3}$，
若若x＜$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜y对一切n∈N^*成立，
则x＜$\frac{1}{3}$，y≥$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查数列递推公式的应用，以及等比数列的判断，数列求和的应用，求出数列的通项公式，利用裂项法是解决本题的关键．