Question

10．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，AB₁⊥BC₁，则平面DBC₁与平面CBC₁所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为坐标原点，$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DBC₁与平面CBC₁所成的角．

解答 解：以A为坐标原点，$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{A{A}_{1}}$的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设底面边长为2a，侧棱长为2b，
则A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），B（$\sqrt{3}$a，a，0），C₁（0，2a，2b），B₁（$\sqrt{3}$a，a，2b）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}a，a，2b$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}a$，a，2b），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}a$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，a，2b），
由AB₁⊥BC₁，得$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=2a²-4b²=0，即2b²=a²．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面DBC₁的一个法向量，
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax=0}\\{ay+2bz=0}\end{array}\right.$，又2b²=a²，令z=1，解得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{2}$，1）．
同理可求得平面CBC₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
设平面DBC₁与平面CBC₁所成的角为θ，
则 cos θ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得θ=45°．
∴平面DBC₁与平面CBC₁所成的角为45°．
故选：B．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．