Question

19．（1）解不等式：$\sqrt{x-1}$+2x≤5
（2）解关于x的不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$（a∈R）．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{x-1}$+2x≤5得$\left\{\begin{array}{l}{x-1{≤（5-2x）}^{2}}\\{x-1≥0}\\{5-2x≥0}\end{array}\right.$，解之即可得到不等式：$\sqrt{x-1}$+2x≤5的解集；
（2）$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$（a∈R）⇒$\frac{a[x-（\frac{2}{a}-2）]}{x-2}$＞0，通过对参数a分a＜0、a=0、0＜a＜$\frac{1}{2}$、a=$\frac{1}{2}$、a＞$\frac{1}{2}$五类讨论，可分别求得不等式$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x-1}$+2x≤5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1{≤（5-2x）}^{2}}\\{x-1≥0}\\{5-2x≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{13}{4}或x≤2}\\{1≤x≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：1≤x≤2，
∴不等式：$\sqrt{x-1}$+2x≤5的解集为[1，2]．
（2）由$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$（a∈R）得：$\frac{ax-1}{x-2}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{ax+2a-2}{2（x-2）}$＞0．
当a=0时，解得：x＜2；
当a≠0时，$\frac{ax+2a-2}{2（x-2）}$＞0?$\frac{a[x-（\frac{2}{a}-2）]}{x-2}$＞0．
当a＞0时，若$\frac{2}{a}$-2=2，即a=$\frac{1}{2}$时，解得：x≠2；
若$\frac{2}{a}$-2＞2，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，解得：x＞$\frac{2}{a}$-2或x＜2；
若$\frac{2}{a}$-2＜2，即a＞$\frac{1}{2}$时，解得：x＜$\frac{2}{a}$-2或x＞2；
当a＜0时，解得：$\frac{2}{a}$-2＜x＜2．
综上所述，a＜0时，不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集为{x|$\frac{2}{a}$-2＜x＜2}；
a=0时，不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集为{x|x＜2}；
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集为{x|x＞$\frac{2}{a}$-2或x＜2}；
a=$\frac{1}{2}$时，不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集为{x|x≠2}；
a＞$\frac{1}{2}$时，不等式：$\frac{ax-1}{x-2}$＞$\frac{a}{2}$的解集为{x|＜$\frac{2}{a}$-2或x＞2}．

点评 本题考查无理不等式与分式不等式的解法，突出等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．