Question

11．通过随机询问100性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：

	男	女	总计
爱好	40
不爱好		25
总计		45	100

（Ⅰ）将题中的2×2列联表补充完整；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关？请说明理由；
（Ⅲ）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建了“运动达人社”，现从“运动达人设”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

p（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据2×2列联表数据共享将表中空白部分数据补充完整．
（Ⅱ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）2×2列联表如下：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	15	25	40
总计	55	45	100

（Ⅱ）K²=$\frac{100×（40×25-20×15）^{2}}{55×45×60×40}$≈8.25＞6.635，
∴99%的把握认为断爱好该项运动与性别有关；
（Ⅲ）由题意，抽取6人中，男生4名，女生2名，选出3人中的女大学生人数为X，X的取值为0，1，2，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$．
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=0$\frac{1}{5}$×+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．