Question

6．设函数f（x）=|x+2|+|x-a|，x∈R
（1）若a＜0，且log₂f（x）＞2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，且关于x的不等式f（x）＜$\frac{3}{2}$x有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的不等式求得f（x）=|x+2|+|x-a|的最小值，再由最小值大于4求得a的范围；
（2）写出分段函数解析式，画出图形，数形结合列式求解．

解答 解（1）由log₂f（x）＞2对任意x∈R恒成立，得f（x）＞4对任意x∈R恒成立，
即|x+2|+|x-a|＞4对任意x∈R恒成立，
也就是（|x+2|+|x-a|）_min＞4对任意x∈R恒成立，
由|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|2+a|，
得|2+a|＞4，即2+a＜-4或2+a＞4，解得a＜-6或a＞2，
∵a＜0，∴a＜-6；
（2）∵a＞0，
∴f（x）=|x+2|+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+a-2，x≤-2}\\{a+2，-2＜x＜a}\\{2x-a+2，x≥a}\end{array}\right.$，
画出函数y=f（x）与y=$\frac{3}{2}x$的图象如图，

由图可知，要使关于x的不等式f（x）＜$\frac{3}{2}$x有解，则$\frac{a+2}{a}＜\frac{3}{2}$，解得a＞4．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．