Question

15．设命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线；命题q：?x₀∈R，x₀²+2mx₀+2-m=0
已知“p∨q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 当命题p为真命题时，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线，可得（1-2m）（m+2）＜0．当命题q为真命题时，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，可得△≥0．由“p∨q”为假命题，则p，q都是假命题，即可得出．

解答 解：当命题p为真命题时，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线，∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$．
当命题q为真命题时，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，∴△=4m²-4（2-m）≥0，解得m≤-2，或m≥1；
若“p∨q”为假命题，则p，q都是假命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤\frac{1}{2}}\\{-2＜m＜1}\end{array}\right.$，解得-2＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴m的取值范围为（-2，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了双曲线的标准方程、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．