Question

4．已知点P（3，3），Q（3，-3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}|≤12}\\{|\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OM}|≤12}\end{array}\right.$，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（　　）

• A． $\frac{1}{\sqrt{2}}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2\sqrt{2}}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根据向量数量积化简约束条件，画出可行域，数形结合得答案．

解答 解：∵P（3，3），Q（3，-3），O为坐标原点，
∴$\overrightarrow{OP}=（3，3），\overrightarrow{OQ}=（3，-3）$，又动点M（x，y），即$\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}|≤12}\\{|\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OM}|≤12}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{|3x+3y|≤12}\\{|3x-3y|≤12}\end{array}\right.$，
画出可行域如图，

由点到直线的距离公式可得O到直线x+y-3=0的距离d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算及平面区域，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，正确理解题意是关键，是中档题．