Question

9．甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）计算x，y的值；
（2）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由分层抽样性质得甲校抽取学生人数为55人，乙校抽取的学生人数为50人，由此能求出x，y．
（2）乙校抽取的50名学生中，考试成绩在[120，150]内有20人，将频率视为概率，乙校高三学年三模数学成绩优秀的概率为$\frac{2}{5}$，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为X，则X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由分层抽样性质得甲校抽取学生人数为：1100×$\frac{105}{1100+1000}$=55人，
乙校抽取的学生人数为：1000×$\frac{105}{1100+1000}$=50人，
∴x=55-2-3-10-15-15-3-1=6，
y=50-1-2-9-8-10-10-3=7．
（2）乙校抽取的50名学生中，考试成绩在[120，150]内有10+7+3=20人，
∴将频率视为概率，乙校高三学年三模数学成绩优秀的概率为$\frac{2}{5}$，
从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为X，则X～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（\frac{3}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

EX=$0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．