Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=

1

2

(1-an)(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f(x)=log

1

3

x，bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据数列的性质S₁=a₁可以求出a₁的值，然后再利用递推公式相减，从而推出数列{a_n}为等比数列，从而求解；
（II）由（I）知a_n的通项公式把a₁到a_n代入log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an，然后再求其倒数，可以发现

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

），从而得其前n项和T_n．

解答：解：（I）由S₁=a₁=

1

2

（1-a₁），得a₁=

1

3

；
当n≥2时，a_n=

1

2

（1-a_n）-

1

2

（1-a_n-1）=

1

2

a_n+

1

2

a_n-1
∴

an

an-1

₌

1

3

_，
∴数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n：

（II）∵f（x）=log

1

3

x，
∴b_n=log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an=log

1

3

(a1a2…an)=log

1

3

(

1

3

)1+2+…+n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

∴

1

bn

=

2

n(n-1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

．

点评：此题考查等比数列的性质及其前n项和，第一问比较基础还是应用递推公式相减，第二问要充分利用第一问的结论，这一点以后做题时要注意．