Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转θ角到AB₁C₁D的位置，同时点M沿着AD从点A运动到点D，，点Q在MN₁上，在运动过程中点Q始终满足=，记点Q在面ABCD上的射影为Q，则在运动过程中向量与夹角α的正切的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：该题先转化成平面几何问题，而运动过程中向量与夹角α即为∠MBQ，设BP=x，x∈[0，3]，然而根据tan∠MBQ=tan（∠MBP-∠QBP）建立关于x的函数，最后利用基本不等式求出最值．
解答：解：由题意可知∠QMQ=θ，Q与AD距离始终是MQ=×cosθ=1
画出平面ABCD的图形

在运动过程中向量与夹角α即为∠MBQ，
由题意可设BP=x，x∈[0，3]
tan∠MBQ=tan（∠MBP-∠QBP）===≤=
当且仅当x=时取等号
故答案为：
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及正切的差角公式，同时考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．