Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形， ，且．

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理可得，从而根据直线与平面平行的判定定理可得结论；（2）根据等腰三角形性质可得，由平面平面可得， 平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论；（3）根据等积变换.

试题解析：（1）∵， 分别为， 的中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

综上所述，命题得证．

（2）∵， 为的中点，

∴，

∵平面平面， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面，

综上所述：命题得证．

（3）在等腰直角三角形中，

，∴， ，

∴，

∵平面，

∴，

∴．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.．