Question

已知函数f（x）=

aex-1

ex+1

（a为常数）是R上的奇数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）若不等式f（kx+1）≤f（x²+2）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义或性质进行确定，比如f（0）=0；
（2）先分离常数，然后再进行判断；
（3）结合（2）的单调性，去掉“f”，构造出关于x的不等式恒成立，再利用恒成立的思想解题．

解答： 解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即

a-1

2

=0，所以a=1，经验证a=1时符合题意．
（2）原函数可化为f（x）=1-

2

ex+1

，易知，y=e^x+1在定义域内是增函数，且y＞1恒成立，
所以函数y=

2

ex+1

在R内是减函数，则f（x）=1-

2

ex+1

，在R内是增函数．
（3）结合（2），函数f（x）在定义域内是单调增函数，所以kx+1≤x²+2在R内恒成立，
即x²-kx+1≥0在R内恒成立，
结合y=x²-kx+1图象可知，只需△=（-k）²-4≤0即可
解得-2≤k≤2即为所求．

点评：本题主要是考查了函数奇偶性的、单调性的判断等知识方法．同时第三问中涉及到了不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题．