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(本小题满分16分)设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=(n≥1,n∈N*).
(1) 求证:数列是常数列;
(2) 求证:当n≥2时,2<a-a≤3;
(3) 求a2 011的整数部分.
(1) 易知,对一切n≥1,an≠0,由an+2=,得=.
依次利用上述关系式,可得
===…===1,
从而数列是常数列.(4分)
(2) 由(1)得an+1=an+.
又a1=1,∴可知数列{an}递增,则对一切n≥1,有an≥1成立,从而0<≤1.(6分)
当n≥2时,a=2=a++2,
于是a-a=+2,
∴2<a-a≤3.(8分)
(3) 当n≥2时,a=a++2,
∴a=+…++a+2(n-1).
a=1,a=4,则当n≥3时,
a=+…++a+2(n-1)
=+…++1+1+2(n-1)
=+…++2n>2n.
a=+…++2(2 011-1)+1>4 021
>3 969=632,(10分)
a=+…++2(2 011-1)+1
=4 021++…+
<4 020++++…+
=4 022+
=4 022+
]
<4 022+
]
=4 022+
<4 022+(19+4+10)<4 039<4 096=642.(14分)
∴63<a2 011<64,即a2 011的整数部分为63.(16分)
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