Question

（本小题满分14分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；
(Ⅲ) 已知正数数列中，.，求数列中的最大项.

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ① 成立,
∴ （n ≥ 2）② , 
①--②得:, ∴
∵均为正数，∴（n ≥ 2）, ∴数列是公差为1的等差数列.
又n=1时，， 解得=1,
∴.()                        ………………………………(4分)
（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.
∴
 ,
故。                                  ………………………………(8分)
(Ⅲ)解：由已知 ，      

易得　
猜想 n≥2 时，是递减数列. 
令,
∵当
∴在内为单调递减函数.
由. ∴n≥2 时, 是递减数列.，即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为：

略