Question

【题目】已知椭圆C： =1的左顶点为A（﹣3，0），左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0（m∈R）的圆心M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圆M方程变形得：（x+1）2+y2=1﹣m，即M（﹣1，0），∴c=1，
∵顶点A（﹣3，0），∴a=3，
∴b2=a2﹣c2=9﹣1=8，
则椭圆C的方程为 =1；
（Ⅱ）设AP方程为x=ty﹣3（t≠0），代入椭圆方程得：（8t2+9）y2﹣48ty=0，
解得：yA=0，yP= ，
∴xP=tyP﹣3= ，
∵右焦点坐标为（1，0），
∴PQ方程为x= y+1，代入椭圆方程得： y2+ y﹣64=0，
∴yPyQ= ，即yQ= ，
∴xQ= yQ+1= ，
由B，M，Q三点共线，可得MQ⊥AP，即kMQkAP=﹣1，
∴ =﹣1，
解得：t=± ，
∴直线AP方程为x=± y﹣3，
则圆心M到AP的距离为1，即圆半径为 =1，
则m=0
【解析】（Ⅰ）圆M方程变形找出M坐标，确定出c的值，由顶点A坐标确定出a的值，进而求出b的值，即可确定出椭圆C的方程；（Ⅱ）设AP方程为x=ty﹣3（t≠0），代入椭圆方程，消去x表示出P的纵坐标，进而表示出横坐标，再表示出Q坐标，根据B，M，Q三点共线，得到MQ与AP垂直，即直线MQ与直线AP斜率乘积为﹣1，求出t的值，确定出直线AP方程，进而求出m的值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．