Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+bx在[1，2]上为减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 求导函数，利用y=f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，建立不等式，将a+b用条件线性表示，即可求得a+b的最小值．

解答 解：f′（x）=x²+ax+b，
因为函数f（x）在区间[1，2]上是减函数即在区间[1，2]上，f′（x）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b≤0}\\{4+2a+b≤0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b≤-1}\\{2a+b≤-4}\end{array}\right.$
在坐标平面内作直线 a+b+1=0、2a+b+4=0，它们交于 A（-3，2），
满足①（a，b）是 A 点上方区域，
令a+b=t，则 b=-a+t，t是直线在b轴上的截距，
平移直线，可以看出，当直线过A时，
t最小为-3+2=-1．
故a+b的最小值是-1．

点评 本题主要考查了导数与函数的单调性的问题，以及区域线性规划，属于中档题．