Question

5．等比数列{a_n}中，a₇²=a₉且a₈＞a₉，则使得a_n-$\frac{1}{a_1}$＞0的自然数n的最大值为（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 由题意可得a₅=1，首项a₁＞0，公比q满足0＜q＜1，可得a_n-$\frac{1}{a_1}$=q⁴（q^n-9-1）＞0，可得q^n-9-1＞0，解不等式可得n的范围，可得答案．

解答 解：∵a₇²=a₉，a₇²=a₉a₅，
∴a₅=1，又∵a₈＞a₉，
∴等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q满足0＜q＜1，
∵a_n-$\frac{1}{a_1}$=a_n-q⁴=q⁴（a₁q^n-5-1）=q⁴（q^n-9-1）＞0，
∴q^n-9-1＞0，∴n＜9，
∴自然数n的最大值为8
故选：C

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及指数不等式的解法，属基础题．