Question

12．已知a＞0，函数f（x）=$\frac{|x-2a|}{x+2a}$在区间[1，4]上的最大值等于$\frac{1}{2}$，则a的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$或2

Answer 1

分析 讨论x-2a在区间[1，4]上恒大于零，恒小于零，既有大于零又有小于零．对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答 解：（1）当x-2a在区间[1，4]上恒大于零时，
由x-2a＞0，可得a＜$\frac{x}{2}$；
当x=1时，满足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜$\frac{1}{2}$；
此时函数f（x）=$\frac{x-2a}{x+2a}$=1-$\frac{4a}{x+2a}$，
该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{2}{3}$，不满足a＜$\frac{1}{2}$的假设，舍去．
（2）当x-2a在区间[1，4]上恒小于零时，
∵x-2a＜0，∴a＞$\frac{x}{2}$；
当x=4时，满足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此时函数f（x）=$\frac{-（x-2a）}{x+2a}$=$\frac{4a}{x+2a}$-1，
该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{3}{2}$，不满足a＞2的假设，舍去．
（3）由前面讨论知，当$\frac{1}{2}$＜a＜2时，x-2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，
①当x＜2a时，x-2a＜0，此时函数f（x）=$\frac{4a}{x+2a}$-1在[1，2a）上为减函数，
在x=1时，取到最大值f（1）=$\frac{1}{2}$；
②当x＞2a时，x-2a＞0．此时函数f（x）=1-$\frac{4a}{x+2a}$在（2a，4]时为增函数，
在x=4时，取到最大值f（4）=$\frac{1}{2}$；
总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；
当函数在x=1处取最大值时，解得a=$\frac{3}{2}$，此时函数f（x）=$\frac{|x-3|}{x+3}$，
将函数的另一个最大值点x=4代入得：f（4）=$\frac{1}{7}$，
∵f（1）＞f（4），∴满足条件；
当函数在x=4处取最大值时，解得a=$\frac{2}{3}$，此时函数f（x）=$\frac{|x-\frac{4}{3}|}{x+\frac{4}{3}}$，
将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=$\frac{1}{7}$，
∵f（1）＜f（4），∴满足条件；
∴a=$\frac{2}{3}$或a=$\frac{3}{2}$；
故选：A．

点评 本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，运用单调性解决，是易错题．