【题目】某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为
的概率
(
=1,2,3);
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出的值为
(
=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
运行 次数n | 输出y的值 为1的频数 | 输出y的值 为2的频数 | 输出y的值 为3的频数 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 027 | 376 | 697 |
乙的频数统计表(部分)
运行 次数n | 输出y的值 为1的频数 | 输出y的值 为2的频数 | 输出y的值 为3的频数 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 051 | 696 | 353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为
(
=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】解:(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.
所以输出y的值为1的概率为,输出y的值为2的概率为
,输出y的值为3的概率为
.
(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 | |
甲 | |||
乙 |
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=×
=
,
P(ξ=1)=×
=
,
P(ξ=2)=×
=
,
P(ξ=3)=×
=
.
故ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
所以E(ξ)=0×+1×
+2×
+3×
=1.
即ξ的数学期望为
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【题目】已知函数f(x)=(x2﹣x﹣ )eax(a>0).
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)若存在唯一实数x0 , 使得f(x0)+ =0成立,求实数a的值.
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【题目】某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中几录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几 组对应数据如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | a |
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则表中a的值为( )
A.3
B.3.15
C.3.5
D.4.5
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【题目】已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为 (t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ
(1)将C1的方程化为普通方程,并求出C2的平面直角坐标方程
(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.
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【题目】已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ﹣ )=﹣1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2
cos(θ﹣
).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0 , y0),使得:①x0= ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值和谐切线”.当a=2时,函数f(x)是否存在“中值和谐切线”,请说明理由.
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【题目】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点,
(1)求证:CF∥平面A1DE;
(2)求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值.
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