Question

11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（　　）

• A． 100πcm³
• B． $\frac{500π}{3}c{m^3}$
• C． 400πcm³
• D． $\frac{4000π}{3}c{m^3}$

Answer 1

分析 如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．

解答 解：如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．
AB=6，AD=2$\sqrt{7}$，PD=6．
则该阳马的外接球的直径为PB=$\sqrt{P{D}^{2}+D{B}^{2}}$
=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=10．
∴该阳马的外接球的体积=$\frac{4π×{5}^{3}}{3}$=$\frac{500π}{3}$cm³．
故选：B．

点评 本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．