Question

19．设f（x）=|3x-2|+|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）=|3x-2|+|x-2|≤8；
（Ⅱ）对任意的x，f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）讨论x的范围，去绝对值符号，解出x；
（II）利用绝对值三角不等式的性质求出$\frac{f（x）}{|x|}$的最值，从而得出m的范围．

解答 解：（I）当x$≤\frac{2}{3}$时，不等式为2-3x+2-x≤8，
解得x≥-1，∴-1≤x≤$\frac{2}{3}$；
当$\frac{2}{3}＜x＜2$时，不等式为3x-2+2-x≤8，
解得x≤4，∴$\frac{2}{3}＜x＜2$；
当x≥2时，不等式为3x-2+x-2≤8，
解得x≤3；∴2≤x≤3．
综上，f（x）≤8的解集为[-1，3]．
（II）∵f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
即|3x-2|+|x-2|≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
显然当x=0时，不等式恒成立，
当x≠0时，m²-m+2≤$\frac{|3x-2|}{|x|}$+$\frac{|x-2|}{|x|}$=|3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|≤|3-$\frac{2}{x}$-（1-$\frac{2}{x}$）|=2，
∴m²-m+2≤2，解得：0≤m≤1．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．