Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a²+b²-6（a+b）+18=0，则=________．

Answer 1

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分析：通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．通过a²+b²-6（a+b）+18=0，求出a，b的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．
解答：由已知（a-b）sinB=asinA-csinC，即asinA-csinC=（a-b）sinB，根据正弦定理，
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC==．
又C∈（0，π）．所以C=．
a²+b²-6（a+b）+18=0，可得（a-3）²+（b-3）²=0，
所以a=b=3，三角形是正三角形，
=3×3×3×cos120°=．
故答案为：．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．