Question

4．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且过点（2，$\sqrt{3}$），则双曲线C的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$
• D． x²-y²=1

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论．

解答 解：∵双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，则b²=c²-a²=$\frac{10}{4}$a²-a²=$\frac{3}{2}$a²，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{3{a}^{2}}{2}}$=1，
∵双曲线过点（2，$\sqrt{3}$），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{6}{3{a}^{2}}$=1，即$\frac{2}{{a}^{2}}$=1，
得a²=2，b²=3，
则双曲线C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系进行求解是解决本题的关键．