Question

已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).

(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.

Answer 1

 (1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),

f′(x)= (x-1)(3x-5),

故f′(2)=1.

又f(2)=0,

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.

(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-),

由于a<b且a,b∈R,故a<,

所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.

不妨设x1=a,x2=,

因为x3≠x1,x3≠x2,

且x3是f(x)的零点,

故x3=b.

又因为-a=2(b-),

x4=(a+)=,

此时a, ,,b依次成等差数列,

所以存在实数x4满足题意,且x4=.