Question

（本小题满分12分）
已知点列、、…、（n∈N）顺次为一次函数图像上的点，点列、、…、（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中（0＜a＜1），对于任意n∈N，点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形。

（1）数列的通项公式，并证明是等差数列；
（2）证明为常数，并求出数列的通项公式；
（3）上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）(nÎN)，证明见解析
（2）证明见解析，
（3）存在直角三形，此时a的值为、、.

（1）(nÎN),∵y_n+1-y_n=,∴{y_n}为等差数列 ………………4分
（2）因为与为等腰三角形.
所以，两式相减得。………………7分
注：判断得2分，证明得1分
∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x₆ ，…，x_2n都是公差为2的等差数列，………………6分
∴ ………………10分
（3）要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()
当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1)  (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； ………………14分
当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)  (*¢)，
取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. ………………18分