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(本题满分 13分)
集合为集合个不同的子集,对于任意不大于的正整数满足下列条件:
,且每一个少含有三个元素;
的充要条件是(其中)。
为了表示这些子集,作列的数表(即数表),规定第行第列数为:
(1)该表中每一列至少有多少个1;若集合,请完成下面数表(填符合题意的一种即可);

(2)用含的代数式表示数表中1的个数,并证明
(3)设数列项和为,数列的通项公式为:,证明不等式:对任何正整数都成立。
(1)见解析。
(2),证明见解析。
(3)证明见解析。
(1)根据条件①每个中至少含有三个元素,作出的数表每一列至少有三个1。
数表如下:
 
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
0
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
1
3
1
1
0
0
0
1
0
4
1
0
1
0
1
0
0
5
0
1
1
0
0
0
1
6
0
1
0
1
1
0
0
7
0
0
1
1
0
1
0
 
(2)题设条件①中的表明的一条对角线上数字都是0,题设条件②表明除对角线以外,恰好一个为1,而另一个为0,即数表中除该对角线以外,0与1各占一半,故数表中共有个1。另一方面,根据题设条件①每一个至少含有三个元素得:作出的数表的每一列至少有3个1,所以整个数表(共有列)至少有个1,因此列出不等式:,解得
(3)
检验也成立,故
证法一:要证:,只要证:

故只要证:
即只要证, 又

所以命题得证。
证法二:同上       又

所以 
,故
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