Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$
（1）解不等式f（x）≤$\frac{1}{3}$；
（2）当x＞0时，若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由分式不等式的解法，等价转化为解二次不等式，即可得到解集；
（2）由题意可得f（x）_max≤a在x＞0恒成立，将f（x）的分子分母同除以x，再由基本不等式可得最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≤$\frac{1}{3}$，即为$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$≤$\frac{1}{3}$，
即有$\frac{（x-1）（x-4）}{3（{x}^{2}-2x+4）}$≥0，由x2-2x+4=（x-1）2+3＞0恒成立，
则有（x-1）（x-4）≥0，解得x≥4或x≤1．
则解集为（-∞，1]∪（4，+∞）；
（2）当x＞0时，若f（x）≤a恒成立，
即为f（x）_max≤a在x＞0恒成立，
由f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}-2}$，
x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时，取得等号．
即有x=2时，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}$．
则有a≥$\frac{1}{2}$．
即a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查分式不等式的解法，函数恒成立问题转化为求函数的最值问题，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．