Question

6．已知函数f（x）=x²-ax+2a-1，g（x）=2x+3．
（1）对任意x∈[3，6]有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x₁，x₂满足x₁∈[3，6]，x₂∈[3，6]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在x₁，x₂满足x₁∈[3，6]，x₂∈[3，6]有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²-ax+2a-1-2x-3＞0，即有a＜$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$的最小值，运用函数的单调性，可得最小值；
（2）求出g（x）在[3，6]的最大值，即为f（x）＞15在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$的最小值，运用单调性可得最小值；
（3）求出g（x）在[3，6]的最小值，即为f（x）＞9在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$的最大值，运用函数的单调性，可得最大值．

解答 解：（1）任意x∈[3，6]有f（x）＞g（x）恒成立，即为
x²-ax+2a-1-2x-3＞0，即有a＜$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$的最小值，
由$\frac{{x}^{2}-2x-4}{x-2}$=（x-2）-$\frac{4}{x-2}$+2在[3，6]递增，
即有x=3取得最小值，且为-1，
则a＜-1；
（2）由g（x）=2x+3在[3，6]递增，即有g（6）最大，且为15，
由题意可得f（x）＞15在[3，6]恒成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$的最小值，
由$\frac{{x}^{2}-16}{x-2}$=（x-2）-$\frac{12}{x-2}$+4在[3，6]递增，
即有x=3取得最小值，且为-7，
则a＜-7；
（3）由g（x）=2x+3在[3，6]递增，即有g（3）最小，且为9，
由题意可得f（x）＞9在[3，6]成立，即有a＜$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$的最大值，
由$\frac{{x}^{2}-10}{x-2}$=（x-2）-$\frac{6}{x-2}$+4在[3，6]递增，
即有x=6取得最大值，且为$\frac{13}{2}$，
则a＜$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查不等式恒成立和存在性问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题和易错题．