Question

14．（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的十位数字是2．

Answer 1

分析 根据7²⁰⁰⁴+36=49¹⁰⁰²+36 的展开式可得它的最后两位数为37，问题转化为求37⁸¹⁸的最后两位数字．根据 37⁸¹⁸=1369⁴⁰⁹，故只需考查（70-1）⁴⁰⁹的最后两位数字即可，再利用二项式定理可得69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后两位数字由68629来确定，可得（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的最后两位数字为29，从而得出结论．

解答 解：∵7²⁰⁰⁴+36=49¹⁰⁰²+36=（50-1）¹⁰⁰²+36=${C}_{1002}^{0}$•50¹⁰⁰²-${C}_{1002}^{1}$•50⁴⁹+…+${C}_{1002}^{1000}$•50²-${C}_{1002}^{1001}$•50+1+36，
故 7²⁰⁰⁴+36 的最后两位数字为37，问题转化为求37⁸¹⁸的最后两位数字．
∵37⁸¹⁸=（37²）⁴⁰⁹=1369⁴⁰⁹，故只需考查69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后两位数字即可．
而（70-1）⁴⁰⁹=${C}_{409}^{0}$•70⁴⁰⁹-${C}_{409}^{1}$•70⁴⁰⁸+…+${C}_{409}^{408}$•70-1，
故69⁴⁰⁹=（70-1）⁴⁰⁹的最后两位数字由 ${C}_{409}^{408}$•70-1=409×70-1=68629来确定，
故（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的最后两位数字为29，
故（7²⁰⁰⁴+36）⁸¹⁸的十位数字为2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．