Question

19．已知f（x）=$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质由f（-x）=-f（x），解方程即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，利用导数即可求f（x）的单调区间，并加以证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$是奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x-a}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x-a}{x^2+bx+1}$．
整理得（a+b）x²+a=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=b=0；
（2）∵a=b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
 可知：f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）＜0，解得x的取值范围是（-∞，-1）、（1，+∞）此时函数递减，
令f′（x）＞0，解得x的取值范围是（-1，1）此时函数递增，
故函数在（-∞，-1]、[1，+∞）上分别递减；（-1，1）上递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用定义法和导数法是解决本题的关键．