Question

8．已知函数f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$）（a＞1，a≠1），问：在y=f（x）的图象上是否存在两个不同点，使过两点的直线与x轴平行？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 利用函数单调性的定义证明函数f（x）为定义域上的单调函数即可说明不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

解答 证明：不存在，理由如下：
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{-x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+{a}^{{-x}_{2}}）$
=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}+\;\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$
=$\frac{a（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{（{a}^{2}-1）{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$
∵${a^{{x_1}+{x_2}}}$+1＞0，${a^{{x_1}+{x_2}}}$＞0，而不论a＞1 还是0＜a＜1 ${a^{x_1}}-{a^{x_2}}$与a²-1同号
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

点评 本题考查函数函数单调性的定义及其证明，代数变换推理证明能力．