Question

10．已知点A（-2，0），B（2，0），点C在直线y=1上，满足AC⊥BC，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 先求出C的坐标，再利用待定系数法，即可求以A，B为焦点且过点C的椭圆的方程．

解答 解：设C（m，1），则
∵点A（-2，0），B（2，0），AC⊥BC，
∴（m+2，1）•（m-2，1）=0
∴m²-4+1=0，
∴m=±$\sqrt{3}$，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆方程，考查待定系数法的运用，确定C的坐标是关键．