Question

16．在满足条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{3x+y-3≥0}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$的区域内任取一点M（x，y），则点M（x，y）满足不等式（x-1）²+y²＜1的概率为（　　）

• A． $\frac{π}{60}$
• B． $\frac{π}{120}$
• C． 1-$\frac{π}{60}$
• D． 1-$\frac{π}{120}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出可行域的面积，再求出可行域落在圆（x-1）²+y²=1内的扇形面积，然后利用几何概型概率计算公式求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{3x+y-3≥0}\\{x+y-7≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
由图可得：A（1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得：B（3，4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-3=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得：C（-2，9），
∴AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（9-0）^{2}}=3\sqrt{10}$，
tanA=$\frac{{k}_{AC}-{k}_{AB}}{1+{k}_{AC}•{k}_{AB}}=\frac{-3-2}{1+（-3）×2}=1$，则A=$\frac{π}{4}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×3\sqrt{10}×sin\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×3\sqrt{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=15．
可行域落在圆（x-1）²+y²=1内的扇形面积为$\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{π}{4}=\frac{π}{8}$．
∴点M（x，y）满足不等式（x-1）²+y²＜1的概率为$\frac{\frac{π}{8}}{15}=\frac{π}{120}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查几何概型概率的求法，综合性强，属中高档题．