Question

11．设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{4}{5}$-cos（A+B），cos²$\frac{A-B}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{8}$，1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求$\frac{{S}_{△ABC}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$的最小值（其中S_△ABC表示△ABC的面积）．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直的条件，结合和差的余弦公式，即可求tanA•tanB的值；
（2）$\frac{{S}_{△ABC}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}absinC}{-2abcosC}$=-$\frac{1}{4}$tanC=$\frac{1}{4}$tan（A+B）=$\frac{1}{4}$•$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{9}{2}$（tanA+tanB），利用基本不等式，即可求$\frac{{S}_{△ABC}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$的最小值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{4}{5}$-cos（A+B），cos²$\frac{A-B}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{8}$，1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{5}{8}$[（-$\frac{4}{5}$-cos（A+B）]+cos²$\frac{A-B}{2}$=0，
∴-$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{8}$cos（A+B）+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos（A-B）=0，
∴4cos（A-B）=5cos（A+B），
∴4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴cosAcosB=9sinAsinB，
∴tanA•tanB=$\frac{1}{9}$；
（2）$\frac{{S}_{△ABC}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}absinC}{-2abcosC}$=-$\frac{1}{4}$tanC=$\frac{1}{4}$tan（A+B）=$\frac{1}{4}$•$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{9}{2}$（tanA+tanB）≥$\frac{9}{2}$•2$\sqrt{tanA•tanB}$=3，当且仅当tanA=tanB=$\frac{1}{3}$时取等号，$\frac{{S}_{△ABC}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$的最小值为3．

点评 本题考查向量垂直的条件，和差的余弦公式，考察基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．