Question

8．设数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列．若a₁＞a₂，b₁＞b₂，且b_i=a_i²（i=1，2，3），则数列{b_n}的公比为3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b_n}为等比数列，可得b₂²=b₁•b₃，代入化简可得a₁和d的关系，分类讨论可得b₁和b₂，可得其公比．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁＞a₂可得d＜0，
∴b₁=a₁²，b₂=a₂²=（a₁+d）²，
b₃=a₃²=（a₁+2d）²，
∵数列{b_n}为等比数列，∴b₂²=b₁•b₃，
即（a₁+d）⁴=a₁²•（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+2d）  ①
或（a₁+d）²=-a₁•（a₁+2d），②
由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；
由②可得a₁=$\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$d，或a₁=$\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$d，
当a₁=$\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$d时，可得b₁=a₁²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}{d}^{2}$
b₂=a₂²=（a₁+d）²=$\frac{1}{2}{d}^{2}$，满足b₁＞b₂，
当a₁=$\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$d时，可得b₁=a₁²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}{d}^{2}$，
b₂=（a₁+d）²=$\frac{1}{2}{d}^{2}$，此时显然与b₁＞b₂矛盾，舍去；
∴数列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}{d}^{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}}{2}{d}^{2}}$=$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{（3+2\sqrt{2}）（3-2\sqrt{2}）}$=3-2$\sqrt{2}$，
综上可得数列{b_n}的公比q=3-2$\sqrt{2}$，
故答案为：$3-2\sqrt{2}$

点评 本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，考查学生的运算能力．