Question

20．在区间[0，1]上给定曲线y=x²．
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，求S₁值．
（2）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S₁与S₂之和最小．

Answer 1

分析 （1）利用定积分的几何意义首先表示S₁，然后计算；
（2）利用t分别用定积分表示两部分的面积，然后整理得到关于t的式子，结合解析式特点求最小值．

解答 解：（1）当t=$\frac{1}{2}$时，S₁=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}（\frac{1}{4}-{x}^{2}）dx$=（$\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{12}$；
（2）设0≤t≤1
当x=t时，y=t²
∴S₁=${∫}_{0}^{t}（{t}^{2}-{x}^{2}）dx$=（t²x$-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{t}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}$，
S₂=${∫}_{t}^{1}（{x}^{2}-{t}^{2}）dx$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-{t}^{2}x$）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$，
∴阴影部分的面积为S₁+S₂=f（t）=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}-\frac{1}{3}$（0≤t≤1）
f'（t）=4t²-2t，令f'（t）=0可得t₁=0或t₂=$\frac{1}{2}$，
由f（0）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{3}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
可知当t=$\frac{1}{2}$时，S₁+S₂有最小值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了利用定积分表示封闭图形的面积与求函数最小值；关键是利用定积分表示封闭图形的面积．