Question

15．已知曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$绕原点逆时针旋转45°后可得到曲线C₂：y²-x²=2，
（Ⅰ）求由曲线C₁变换到曲线C₂对应的矩阵M₁；
（Ⅱ）若矩阵M₂=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$，求曲线C₁依次经过矩阵M₁，M₂对应的变换T₁，T₂变换后得到的曲线方程．

Answer 1

分析 （I）因为把曲线C₁逆时针旋转θ角，得到曲线C₂，则旋转变换矩阵为M₁=$[\begin{array}{l}{cos45°}&{-sin45°}\\{sin45°}&{cos45°}\end{array}]$．
（II）先求出依次经过矩阵M₁，M₂对应的变换T₁，T₂对应的矩阵，再设曲线C1上任一点经过变换后的对应点坐标，用变换后的坐标表示变换前的坐标，再代入变换前曲线满足的方程，化简即得变换后的曲线方程．

解答 解：（I）∵曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C₂：y²-x²=2，
∴旋转变换矩阵M₁=$[\begin{array}{l}{cos45°}&{-sin45°}\\{sin45°}&{cos45°}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$；
（II）设依次经过矩阵M₁，M₂对应的变换T₁，T₂对应的矩阵M=M₂M1=$[\begin{array}{l}{\sqrt{2}}&{-\sqrt{2}}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}}&{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$
任取曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$上的一点P（x，y），它在变换T_M作用下变成点P′（x′，y′），则有$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y}\\{y′=\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3x′+2y′}{6\sqrt{2}}}\\{y=\frac{2y′-3x′}{6\sqrt{2}}}\end{array}\right.$
又点P在C₁：y=$\frac{1}{x}$上，得到$\frac{y{′}^{2}}{18}-\frac{x{′}^{2}}{8}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{18}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$．

点评 本题主要考查了曲线的旋转变换矩阵的求法以及根据旋转变换求曲线方程，考查学生的计算能力．